Question

19．设集合A={a₁，a₂，…，a₁₁}内元素满足一下三个条件：
①a_i＞0（i=1，2，…，11）；
②a₁＜a₂＜…＜a₁₁
③?a_i∈A，唯一存在a_j∈A使得a_ia_j=1（i，j=1，2，…，11）
则函数f（n）=（1+a₁）（1-1a1）+（1+a₂）（1-1a2）+…+（1+a_n）（1-1an）（n=1，…，11）值域内元素的个数为6．

Answer 1

分析 此题考察集合的确定性，对题设条件的分析，探索，进而寻求解题方法．由（1）知每个元素都为正数，（2）（3）知最小的和最大的积为1，依此类推．

解答 解：由题意知
a₁a₁₁=1，a₂a₁₀=1，a₃a₉=1，a₄a₈=1，a5a₇=1，a₆=1
（1+a₁）（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）=a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$=a₁-a₁₁
（1+a₁₁）（1-$\frac{1}{{a}_{11}}$）=a₁₁-$\frac{1}{{a}_{11}}$=a₁₁-a₁
同理可得其它几组的相反关系
∴f（11）=0，f（1）=f（10），f（2）=f（9），f（3）=f（8），f（4）=f（7），f（5）=f（6）
故值域内元素的个数为6个

点评 此题属于探索性题目，需要对条件充分挖掘，提炼信息，进而找出解决方法．