Question

10．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．
（1）在△ABC中，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=2，∠A=60°，求a，b；
（2）若a=ccosB，试确定△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，利用三角形的面积公式以及余弦定理即可求a，b；
（2）若a=ccosB，利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可．

解答 解：（1）在△ABC中，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}b×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得b=1，
则由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2×$1×2×\frac{1}{2}$=1+4-2=3，
即a=$\sqrt{3}$；
（2）若a=ccosB，
则sinA=sinCcosB，
即sin（B+C）=sinCcosB，
即sinCcosB+cosBsinC=sinCcosB，
即cosBsinC=0，
则三角形中sinC≠0，
∴cosB=0，即B=$\frac{π}{2}$，即△ABC是直角三角形．

点评 本题主要考查三角形面积的应用以及三角形形状的判断，利用三角形的面积公式，正弦定理以及余弦定理是解决本题的关键．