Question

【题目】已知等比数列的前项和为，公比，，．

（1）求等比数列的通项公式；

（2）设，求的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）将已知两式作差，利用等比数列的通项公式，可得公比，由等比数列的求和可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得bn＝n，，由裂项相消求和可得答案．

（1）等比数列的前项和为，公比，①，

②．

②﹣①，得，则，

又，所以，

因为，所以，

所以，

所以；

（2），

所以前项和．

【点睛】

裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如或.

【题型】解答题
【结束】
22

【题目】已知函数的图象上有两点，．函数满足，且．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）能否保证和中至少有一个为正数？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）能

【解析】

（1）由f（1）＝0，且a＞b＞c，可判断a＞0，c＜0且b＝﹣a﹣c，所以a＞﹣a﹣c＞c，从而可证明；（2）由题可知f（m1）＝﹣a或f（m2）＝﹣a，即m1或m2是方程f（x）＝﹣a的一个实根，即ax2+bx+c+a＝0有根，结合二次方程的实根存在条件即可证；（3）由f（x）＝0的两根中，其中一根为1，另一根为，结合二次方程的根的存在及二次函数的单调性可证．

（1）证明：，且，所以，

因为，所以，

所以，

（2）因为．

所以或，即或是方程的一个实根，

即有根，

所以，

因为，所以，

即，即，因为，所以

（3）设的两根为，显然其中一根为1，另一根为

设，

若，则

所以，所以

又函数在上是增函数，所以．

同理当时，

所以中至少有一个是正数．