Question

如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P—CD—B为45°.
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；
（3）设AD=2，CD=2,求点A到平面PEC的距离.

Answer 1

（1）（2）证明略，（3）1

(1) 取PC的中点G，

连接EG、FG，
∵F为PD的中点，
∴GFCD.
∵CDAB，又E为AB的中点，
∴AE GF.
∴四边形AEGF为平行四边形.
∴AF∥GE，且AF平面PEC，因此AF∥平面PEC.
(2)  PA⊥平面ABCD，
则AD是PD在底面上的射影.又ABCD为矩形，
∴CD⊥AD，则CD⊥PD.因此CD⊥AF，
∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°.
F为Rt△PAD斜边PD的中点，
AF⊥PD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD.
由（1）知AF∥EG.∴EG⊥平面PCD.
∵EG平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.
（3） 由（1）（2）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC交PC于H，则FH⊥平面PEC.
∴FH的长度为F到平面PEC的距离，
即A到平面PEC的距离.
在△PFH与△PCD中，∠P为公共角，
∠FHP=∠CDP=90°，
∴△PFH∽△PCD，∴=.
∵AD=2，PF=，PC===4，
∴FH=×2=1.
∴A到平面PEC的距离为1.