Question

如图(1),△BCD内接于直角梯形A₁A₂A₃D,已知沿△BCD三边将△A₁BD、△A₂BC、△A₃CD翻折上去,恰好形成一个三棱锥ABCD，如图（2）所示.

(1)求证:在三棱锥ABCD中，AB⊥CD；
(2)若直角梯形的上底A₁D=10，高A₁A₂=8，求翻折后三棱锥的侧面ACD与底面BCD所成二面角θ的余弦值.

Answer 1

 
(1)证明:在直角梯形A₁A₂A₃D中,
A₁D⊥A₁B,A₂C⊥A₂B,
翻折成三棱锥后仍有AB⊥AD,AB⊥AC,
∴AB⊥平面ACD.
又平面ACD,∴AB⊥CD.
(2)解:由题设可知,B、C必是A₁A₂、A₂A₃的中点,A₁D=A₃D.
∴A₁D=A₃D=10,A₁B=A₂B=4.

过D作DE⊥A₂A₃,垂足为E,得DE=8.
在Rt△DEA₃中,得EA₃=6,
∴A₂A₃=16.
于是A₂C=CA₃=8，CE=2.
不难得到S_△BCD=36,S_△CDA=32.
∵AB⊥平面ACD,
由面积射影定理得.
故侧面ACD与底面BCD所成二面角θ的余弦值为.

空间直线和平面