Question

13．已知x＞y＞0，且xy=1，求x，y取何值时$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$取最小值，并求这个值．

Answer 1

分析 由x＞y＞0，xy=1，配方可得$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$=（x-y）+$\frac{2}{x-y}$，运用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：由x＞y＞0，xy=1，
则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$=$\frac{（x-y）^{2}+2xy}{x-y}$=$\frac{（x-y）^{2}+2}{x-y}$
=（x-y）+$\frac{2}{x-y}$≥2$\sqrt{2}$，
当且仅当x-y=$\sqrt{2}$，且xy=1
可得x=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，y=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
即有$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$取得最小值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等．