Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k₁、k、k₂，且k₁、k、k₂恰好构成等比数列．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）试探究|OA|²+|OB|²是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将点A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入椭圆方程可知$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{4b}^{2}}$=1，结合a=2b计算即得结论；
（Ⅱ）记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），通过设直线l的方程为y=kx+m，并与椭圆方程联立可知x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$、x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，通过k²=k₁k₂计算可知k=±$\frac{1}{2}$，进而化简可知x₁+x₂=±2m、x₁x₂=2m²-2，利用完全平方公式化简计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知a=2b，且$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{4b}^{2}}$=1，
解得：b²=1，a=2，
所以椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
则△=16（1+4k²-m²）＞0，x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∵k₁、k、k₂恰好构成等比数列，
∴k²=k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即k²=k²+$\frac{-8{k}^{2}{m}^{2}}{4{m}^{2}-4}$+$\frac{{m}^{2}（1+4{k}^{2}）}{4{m}^{2}-4}$，
化简得：-4k²m²+m²=0，
∵m≠0，
∴k²=$\frac{1}{4}$，k=±$\frac{1}{2}$，
此时△=16（2-m²）＞0，即m∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴x₁+x₂=±2m，x₁x₂=2m²-2，
故|OA|²+|OB|²=${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$
=$\frac{3}{4}$（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）+2
=$\frac{3}{4}$[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁x₂]+2
=5，
于是|OA|²+|OB|²是定值为5．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．