Question

15．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）若a=$\sqrt{13}$，b+c=4，求△ABC的面积；
（3）若a=$\sqrt{3}$，且sinB+sinC=1，求b、c的长．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理，设a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a²=b²+c²+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值；
（2）由a²=b²+c²+bc，结合三角形的面积公式，计算即可得到；
（3）由由sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC=$\frac{3}{4}$，又sinB+sinC=1，解得B=C，即b=c，再由正弦定理，可得所求．

解答 解：（1）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
方程两边同乘以2R，
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c
整理得a²=b²+c²+bc，
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
故cosA=-$\frac{1}{2}$，A=120°；
（2）由a=$\sqrt{13}$，b+c=4，
a²=b²+c²+bc=（b+c）²-bc=13，
即有bc=3，
则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（3）由sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC=$\frac{3}{4}$，
又sinB+sinC=1，得sinB=sinC=$\frac{1}{2}$．
即有B=C=$\frac{π}{6}$，
由正弦定理可得b=c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}•\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1．

点评 本题主要考查了正弦定理与余弦定理和面积公式的应用．主要用于解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握，考查计算能力．