题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，
，
（1）求证：
；
（2）若四边形
为正方形，
为正三角形，M是
的中点，求二面角
的余弦值
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）取
的中点为N，通过线线垂直证明
平面
，即可推出
，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证；（2）首先证明
为正三棱锥，过点
作
平面
，则O为正
的中心，取上靠近点C的三等分点为E，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值.
（1）证明：取的中点为N，在中，
，所以
,
又
，且
，所以
，
，
平面，
，所以平面，
又
平面，所以，
所以在
中，由及的中点为N，得
.
（2）由四边形
为正方形，得
，
由
为正三角形，得
，所以
又由（1）知，所以为正三棱锥，
过点作平面，则O为正的中心，取上靠近点C的三等分点为E，
则
，
，
两两垂直，分别以射线，，为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
，
则
，取
，得
，
设平面
的法向量
，
则
，所以
，取
，得
，
设二面角
为
，因为为钝角，所以
，
即所求的二面角的余弦值为.
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