题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中， 
，
，
是
的中点，
是棱
上的点，
，
，
，
.
（1）求证：平面
底面
；
（2）设
，若二面角
的平面角的大小为
，试确定
的值.
【答案】见解析
【解析】(1)证明：∵
，
，
是
的中点，∴
，则四边形
为平行四边形，从而
.∵
，∴
. ……2分
∵
，
，是的中点，∴
.又∵
，
，∴
，即
，又
，∴
平面
，∴平面
底面
.……5分
(2) 解：∵,是的中点,∴
.∵平面平面，且平面
平面
，∴
平面.如图，以
为原点建立空间直角坐标系.
则平面
的法向量为
.
，
，
，
.……7分
设
，则
，
，∵
，∴
，则
，即
，
.在平面
中，
， 
，设平面的法向量为
，由
，得
，取
，得
.∴平面的一个法向量为
. …10分
∵二面角
的平面角的大小为
，∴
，解得
.……12分.
【命题意图】本题主要考查空间直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与直线垂直的判定与性质，二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想．
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