Question

【题目】如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

试题（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．

试题解析：（I）记与的交点为，连接，∵、分别是

的中点，是矩形

∴四边形是平行四边形，∴∥，∵平面

平面，∴∥平面6分

（Ⅱ）在平面中过作于，连接，

∵

∴平面，∴是在平面上的射影，

由三垂线定理点得

∴是二面角的平面角，

在中，，

∴

二面角的大小为8分

另解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，

，设与交于点，则

（I）易得：，

则∥，由面，故∥面；

（Ⅱ）取面的一个法向量为，面的一个法向量为，

则，

故二面角的大小为．