Question

12．已知cosθ=$\frac{5}{13}$，θ∈（π，2π），求sin（$θ-\frac{π}{6}$），cos（$θ-\frac{π}{6}$）及tan（$θ-\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinθ、tanθ的值，再利用两角和差的三角公式求得sin（$θ-\frac{π}{6}$），cos（$θ-\frac{π}{6}$）及tan（$θ-\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：∵cosθ=$\frac{5}{13}$，θ∈（π，2π），∴sinθ=-$\sqrt{{1-cos}^{2}θ}$=-$\frac{12}{13}$，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{12}{5}$，
∴sin（$θ-\frac{π}{6}$）=sinθcos$\frac{π}{6}$-cosθsin$\frac{π}{6}$=-$\frac{12}{13}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{5}{13}$•$\frac{1}{2}$=-$\frac{12\sqrt{3}+5}{26}$，
cos（$θ-\frac{π}{6}$）=cosθcos$\frac{π}{6}$+sinθsin$\frac{π}{6}$=$\frac{5}{13}•\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{12}{13}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$，
tan（$θ-\frac{π}{6}$）=$\frac{tanθ-tan\frac{π}{6}}{1+tanθ•tan\frac{π}{6}}$=$\frac{-\frac{12}{5}-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{12}{5}•\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{-36-5\sqrt{3}}{15-12\sqrt{3}}$=$\frac{1476+612\sqrt{3}}{207}$=$\frac{164+68\sqrt{3}}{23}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，属于基础题．