Question

如图：直三棱柱（侧棱⊥底面）ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=1，BC=，CD⊥AB,垂足为D.

（1）求证：BC∥平面AB₁C₁;
（2）求点B₁到面A₁CD的距离.

Answer 1

（1）见解析    （2）

（1）证明：直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁,
又BC平面A B₁C₁，B₁C₁平面A B₁C₁，∴B₁C₁∥平面A B₁C₁；
（2）（解法一）∵CD⊥AB且平面ABB₁A₁⊥平面AB C, 
∴CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥AD且CD⊥A₁D ,
∴∠A₁DA是二面角A₁—CD—A的平面角，
在Rt△ABC,AC=1,BC=,
∴AB=,又CD⊥AB，∴AC²=AD×AB
∴AD=，AA₁=1，∴∠DA₁B₁=∠A₁DA=60°，∠A₁B₁A=30°，∴AB₁⊥A₁D
又CD⊥A₁D，∴AB₁⊥平面A₁CD，设A₁D∩AB₁=P,∴B₁P为所求点B₁到面A₁CD的距离.
B₁P=A₁B₁cos∠A₁B₁A= cos30°=.
即点到面的距离为．
（2）（解法二）由V_B1-A1CD=V_C-A1B1D=××=，而cos∠A₁CD=×=,
S_△A1CD=×××=,设B₁到平面A₁CD距离为h,则×h=,得h=为所求.
（3）（解法三）分别以CA、CB、CC₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）则A（1，0，0），A₁（1，0，1），
C（0，0，0），C₁（0，0，1），
B（0，，0），B₁（0，，1），

∴D（，，0）=（0，，1），设平面A₁CD的法向量=（x，y，z），则
，取=（1，-，-1）
点到面的距离为d=