Question

如图，F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为

1

2

，点C在x轴上，BC⊥BF，由B、C、F三点确定的圆M恰好与直线x+

3

y+3=0相切．
（I）求椭圆的方程；
（II）过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，若在x轴上存在一点N（x₀，0），使得直线NP与直线NQ关于x轴对称，求x₀的值．

Answer 1

（I）由题意可知F（-c，0）
∵e=

1

2

，∴b=

3

c，即B（0，

3

c)，∴kBF=

3 c

0-(-c)

=

3

又∵BC⊥BF，∴kBC=-

3

3

，
∴C（3c，0），∴圆M的圆心坐标为（c，0），半径为2c由直线x+

3

y+3=0与圆M相切可得

|c+3|

1+( 3 )2

=2c，
∴c=1，∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

（II）由题意可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵直线NP与直线NQ关于x轴对称，
∴k_NP=-k_NQ，即

y1

x1-x0

=-

y2

x2-x0

∴

k(x1+1)

x1-x0

=-

k(x2+1)

x2-x0

，∴x0=

x1+x2+2x1x2

x1+x2+2

∵

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，∴3x²+4k²（x+1）²=12
∴（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴x0=

- 8k2 3+4k2 + 8k2-24 3+4k2

2- 8k2 3+4k2

=-4