题目内容
【题目】已知f（n）=1+ 
，g（n）= 
﹣ 
，n∈N* ．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．
【答案】
（1）解：当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；
当n=2时， 
， 
，
所以f（2）＜g（2）；
当n=3时， 
， 
，
所以f（3）＜g（3）
（2）解：由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：
①当n=1，2，3时，不等式显然成立．
②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，
即即 
＜ 
，
那么，当n=k+1时， 
，
因为 
，
所以 
．
由①、②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立
【解析】（1）根据已知 
， 
，n∈N* ． 我们易得当n=1，2，3时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到猜想f（n）≤g（n）；（2）但归纳推理的结论不一定正确，我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式f（n）≤g（n）当n=1时成立，再假设不等式f（n）≤g（n）当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式f（n）≤g（n）也成立，最后得到不等式f（n）≤g（n）对于所有的正整数n成立；
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