Question

【题目】已知函数f（x）=kx2+（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0．
（1）若f（2）=3，求函数f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，设函数g（x）=f（x）﹣mx，若g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在k使得函数f（x）在[﹣1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=﹣1

∴f（x）=﹣x2+2x+3

（2）解：由（1）得g（x）=f（x）﹣mx=﹣x2+（2﹣m）x+3，函数的对称轴为x=

∵g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，

∴ 或

∴m≤﹣2或m≥6

（3）解：f（x）=kx2+（3+k）x+3的对称轴为

①k＞0时，函数图象开口向上， ，此时函数f（x）在[﹣1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴ ，不合题意，舍去；

②k＜0时，函数图象开口向下， ，

1°若 ，即 时，函数f（x）在[﹣1，4]上的最大值是f（ ）=

∴k2+10k+9=0，∴k=﹣1或k=﹣9，符合题意；

2°若 ，即 时，函数f（x）在[﹣1，4]上递增，最大值为f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，

∴ ，不合题意，舍去；

综上，存在k使得函数f（x）在[﹣1，4]上的最大值是4，且k=﹣1或k=﹣9

【解析】（1）由f（2）=3，可得k的值，从而可得函数f（x）的表达式；（2）g（x）=f（x）﹣mx=﹣x2+（2﹣m）x+3，函数的对称轴为x= ，根据g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，可得 或 ，从而可求实数m的取值范围；（3）f（x）=kx2+（3+k）x+3的对称轴为 ，分类讨论，确定函数图象开口向上，函数f（x）在[﹣1，4]上的单调性，利用最大值是4，建立方程，即可求得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．