题目内容
【题目】直角坐标系中,圆
(
为参数)上的每一点的横坐标不变,纵坐标变为原来的
,得到曲线
.以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)设与两坐标轴分别相交于
两点,点
在
上,求
的面积的最大值.
【答案】(1),
(2)
,
【解析】
(1)把代入直线的极坐标方程,可得
;求出曲线
的参数方程为
(
为参数),再消参化成普通方程;
(2)不妨设,所以
,设
,令
点到直线
的距离为
,利用三角形的面积公式和三角函数的有界性,即可得答案;
(1)由得
.
把代入上式可得直线
的直角坐标方程为
因为圆的参数方程为
(
为参数).
设为圆
上任意一点,在已知的变换下变为
上的点
,则有
因为(
为参数),所以
,
曲线的参数方程为
(
为参数).
可得普通方程为.
(2)不妨设,所以
.
设,令
点到直线
的距离为
,
则的面积
,
当且仅当,即
时,
,
所以,
所以面积的最大值
,相应
点的坐标为
.
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