Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣ ，其中a∈R．
（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）． 当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣ ，
函数f′（x）= ≥0，
所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，
所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；
（Ⅱ）f′（x）=1﹣ + = ，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，
①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，
所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；
②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，
所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；
③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，
所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；
④当a=1时，
由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；
当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；
当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，证明结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．