Question

12．在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=b₁=1，b₄=8，{a_n}的前10项和S₁₀=55．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；
（2）由（1）得a_n•b_n=n•2^n-1，利用错位相减法即可求得数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
∵a₁=b₁=1，b₄=8，{a_n}的前10项和S₁₀=55．
∴S₁₀=10+$\frac{10×9}{2}$d=55；b₄=q³=8；
解得：d=1，q=2．
所以：a_n=n，b_n=2^n-1．
（2）由（1）得a_n•b_n=n•2^n-1，（8分）
所以T_n=1+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①，（9分）
2T_n=2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②，（10分）
①-②得，-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=（1-n）•2ⁿ-1，（12分）
故T_n=（n-1）•2ⁿ+1．（13分）．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的求和公式，突出考查错位相减法的应用，属于中档题．