题目内容
1.在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知a1=1且a1=b1,a2=b2,a5=b3(1)求等差数列{an},等比数列{bn}的通项公式
(2)当Tn=$\frac{1}{{{a_n}{a_{a+1}}}}$,求数列{Tn}的前n项和.
分析 (1)由已知得$\left\{\begin{array}{l}{1+d=q}\\{1+4d={q}^{2}}\end{array}\right.$,由d≠0,能求出等差数列{an},等比数列{bn}的通项公式.
(2)Tn=$\frac{1}{{{a_n}{a_{a+1}}}}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$),由此利用裂项求和法能求出数列{Tn}的前n项和.
解答 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
∵在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=1且a1=b1,a2=b2,a5=b3,
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+d=q}\\{1+4d={q}^{2}}\end{array}\right.$,由d≠0,解得d=2,q=3,
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
bn=3n-1.
(2)Tn=$\frac{1}{{{a_n}{a_{a+1}}}}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$),
∴Sn=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$)
=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)
=$\frac{n}{2n+1}$.
点评 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列的性质及裂项求和法的合理运用.
A. | 1,2,3 | B. | 2,3,4 | C. | 3,4,5 | D. | 4,5,6 |
A. | 8 | B. | 7 | C. | 6 | D. | 5 |
A. | $-\frac{9}{2}$ | B. | $\frac{9}{2}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | -4 |