Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（3a-c）cosB．
（Ⅰ）求cosB的值．
（Ⅱ）若$b=\sqrt{3}$，且a=c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，由此求得cosB的值．
（Ⅱ）由条件利用余弦定理求得a=c的值，再根据△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ac•sinB，计算求的结果．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，利用正弦定理可得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
∴sin（B+C）=sinA=3sinAcosB，∴cosB=$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）若$b=\sqrt{3}$，且a=c，则由余弦定理可得 b²=3=a²+a²-2a•a•cosB，求得a=c=$\frac{3}{2}$，
∴△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式，属于基础题．