题目内容
19．求函数y=sin3x+cos3x在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值．分析 令t=sinx+cosx，可得t∈[0，1]，函数y=$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$t3，利用导数求得关于t的函数y在[0，1]上单调递增，从而求得它的最大值．
解答 解：函数y=sin3x+cos3x=（sinx+cosx）•（1-sinxcosx），令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，可得t∈[0，1]，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
故函数即y=t•（1-$\frac{{t}^{2}-1}{2}$）=$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$t3，∴y′=$\frac{3}{2}$（1-t2）≥0，故关于t的函数y在[0，1]上单调递增，
故当t=1时，函数y取得最大值为1．
点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的最值，属于中档题．
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9．对于函数f（x），若对于任意的x1，x2，x3∈R，f（x1），f（x2），f（x3）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构成三角形的函数”．已知函数f（x）=$\frac{{{e^x}+t}}{{{e^x}+1}}$是“可构成三角形的函数”，则实数t的取值范围是（ A ）（ ）
| A． | $[{\frac{1}{2}，2}]$ | B． | [0，1] | C． | [1，2] | D． | （0，+∞） |
7．设等比数列{an}前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则$\frac{{{S_5}+{S_{10}}+{S_{15}}}}{{{S_{10}}-{S_5}}}$=$-\frac{9}{2}$．
3．已知锐角α，β满足：cosα=$\frac{1}{3}$，cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，则cos（α-β）=（ ）
| A． | -$\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | -$\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{23}{27}$ |