Question

【题目】已知动圆C过点（1，0），且于直线x=﹣1相切．
（1）求圆心C的轨迹M的方程；
（2）A，B是M上的动点，O是坐标原点，且 ， 求证：直线AB过定点，并求出该点坐标．

Answer 1

【答案】解：（1）动圆C过点（1，0），且与直线x=﹣1相切，
∴圆心C的轨迹M是以（1，0）为焦点的抛物线，
∴圆心C的轨迹M的方程为y2=4x；
（2）设点A，B的坐标为（x1 ， y1）、（x2 ， y2）．
∵A，B在抛物线y2=4x上，
∴y12=4x1 ， y22=4x2 ， 即x1+x2=，x1x2=．
又=-4，
∴x1x2+y1y2=﹣4，
∴+y1y2=﹣4，
∴y1y2=﹣8．
设直线AB的方程为x=my+n，
联立消元得：y2﹣4my﹣4n=0，则：y1+y2=4m，y1y2=﹣4n，
∴﹣4n=﹣8n=2，∴直线AB的方程为x=my+2，
∴直线AB恒过定点，且定点坐标为（2，0）．
【解析】（1）利用动圆C过点（1，0），且与直线x=﹣1相切，可得圆心C的轨迹M是以（1，0）为焦点的抛物线，即可得到动点M的轨迹方程．
（2）先设点A，BD的坐标为（x1 ， y1）、（x2 ， y2），因为A，B两点在抛物线y2=4x上，代入抛物线方程，找出每个点横纵坐标的关系式，再因为=-4，得到x1x2+y1y2=﹣4，设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，可求t的值，即可求出该定点P的坐标．