Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，己知是椭圆的右焦点，是椭圆上位于轴上方的任意一点，过作垂直于的直线交其右准线于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求证：直线与椭圆相切；

（3）在椭圆上是否存在点，使四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）存在，.

【解析】

（1）准线方程为，结合即可得到答案；

（2），由点斜式写出的方程，进一步得到的坐标，利用P、Q两点的坐标写出方程，再与椭圆方程联立消元，判断方程解的个数即可；

（3）当直线的斜率不存在，则，.此时存在，使得四边形是平行四边形；当直线的斜率存在，设，分别求出的坐标，利用及解方程组即可判断.

（1）由题意，，

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）因为，

由于，所以，所以.

设，则，

所以，即点的坐标为.

由直线的斜率为，所以直线的方程为，

令，得，即，

所以直线的方程为.

联立方程组，消得，

化简可得，，即方程有唯一解.

所以上述方程组有唯一解，即直线与椭圆有且只有一个公共点，

所以直线与椭圆相切.

（3）若直线的斜率不存在，则，.

此时存在，使得四边形是平行四边形.

若直线的斜率存在，设，则，

由直线的斜率为，知直线的方程为.

令，得，即，

所以直线的斜率.

假设在椭圆上存在点，使四边形是平行四边形，

则∥，∥.

所以直线的方程为，联立椭圆，

可得，

所以直线的斜率.

又直线的斜率，

令，即，

化简可得，.

又，可以解得，，这与矛盾！

综上，符合条件的点只有一个，其坐标为.