题目内容
【题目】(2016·贵阳第二次联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(a+b,sin A-sin C),向量n=(c,sin A-sin B),且m∥n.
(1)求角B的大小;
(2)设BC的中点为D,且AD=,求a+2c的最大值及此时△ABC的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析:由条件利用两个向量共线的性质,正弦定理,余弦定理可得
的值,从而求得
的值;
设
,则在
中,可知
,利用正弦定理求得
的值,可得
的值,再利用正弦函数的定义域和值域求得
的最大值及此时
的面积。
解析:(1)因为m∥n,
所以(a+b)(sin A-sin B)-c(sin A-sin C)=0.
由正弦定理,得(a+b)(a-b)-c(a-c)=0,即a2+c2-b2=ac.
由余弦定理,得cosB==
=
.
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)设∠BAD=θ,则在△BAD中,
由B=,可知θ∈(0,
).
由正弦定理及AD=,得
=
=
=2,
所以BD=2sin θ,AB=2sin(-θ)=
cosθ+sin θ.
所以a=2BD=4sin θ,c=AB=cosθ+sin θ.
从而a+2c=2cos θ+6sin θ=4
sin(θ+
).
由θ∈(0,),可知θ+
∈(
,
),
所以当θ+=
,即θ=
时,a+2c取得最大值4
.
此时a=2,c=
,
所以S△ABC=acsinB=
.
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