题目内容
【题目】已知函数
.
(1)当
时，求证： 
；
(2)设函数
，且
有两个不同的零点
，
①求实数
的取值范围； ②求证： 
.
【答案】（1）
；（2）①
； ②证明见解析
【解析】试题分析：（1）构造函数，利用函数增减性求证；（2）①只需函数的极小值小于0即可；②由①知
，记
，分析函数的增减性，可知
单调递减，所以
，转化为
即可求证.
试题解析：
（1）记
，则
，在
上， 
即
在
上递减，所以
，即
恒成立
记
，则
，在
上， 
即
在
上递增，所以
，即
恒成立
①
，定义域： 
，则
易知
在
递增，而
，所以在
上， 
在
递减，在
递增， 
, 
要使函数有两个零点，则
故实数
的取值范围是
②由①知
，记
当
时，由①知： 
，则
再由
得， 
， 
故
恒成立， 
单调递减
，即
，而
， 
，所以
，由题知， 
， 
在
递增，所以
，即
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