题目内容
【题目】已知函数f(x)=-
,若x∈R,f(x)满足f(-x)=-f(x).
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)(x∈R)的单调性,并说明理由;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-4t)+f(-k)<0恒成立,求k的取值范围.
【答案】(1)1;(2)
【解析】
(1)根据f(-x)=-f(x)代入求得a的值; (2)f(x)是定义域R上的单调减函数,利用定义证明即可; (3)根据题意把不等式化为t2-4t>k,求出f(t)=t2-4t的最小值,即可得出k的取值范围.
(Ⅰ)函数f(x)=-
,x∈R,且f(-x)=-f(x),
∴-
=-
+
,
∴a=+
=
+
=1;
(Ⅱ)f(x)=-
是定义域R上的单调减函数,证明如下:
任取x1、x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=(-
)-(
-
)=
-
=
,
由(+1)(
+1)>0,当x1<x2时,
<
,
∴-
>0,∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)是定义域R上的单调减函数;
(Ⅲ)对任意的t∈R,不等式f(t2-4t)+f(-k)<0恒成立,
则f(t2-4t)<-f(-k)=f(k),
根据f(x)是定义域R上的单调减函数,得t2-4t>k,
设f(t)=t2-4t,t∈R,则f(t)=(t-2)2-4≥-4,
∴k的取值范围是k<-4.
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