Question

11．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{1+cos2α+cos2β=0}\\{sin2α+sin2β=0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由和差化积公式化简已知可得：1+cos2α+cos2β=1+2cos（α+β）cos（α-β）=0，…①，sin2α+sin2β=2sin（α+β）cos（α-β）=0，…②
由②得sin（α+β）=0，从而解得α=kπ-β，代入①式中，得coskπcos（kπ-2β）=-$\frac{1}{2}$，解得cos2β，cos2α，结合cos2β≠2α，利用余弦函数的性质和图象即可解得α，β的值．

解答 解：∵1+cos2α+cos2β=1+2cos（α+β）cos（α-β）=0，…①
sin2α+sin2β=2sin（α+β）cos（α-β）=0，…②
∴由②得sin（α+β）=0或cos（α-β）=0，（cos（α-β）=0不合题意，否则①不成立，故舍之）．
∴sin（α+β）=0，
∴α+β=kπ，（此时α≠β，否则不满足①式）…③
∴α=kπ-β代入①式中，得coskπcos（kπ-2β）=-$\frac{1}{2}$，
∴可得cos2β=-$\frac{1}{2}$，代入①式中，解得：cos2$α=-\frac{1}{2}$，
∵2α≠2β，否则不满足①式，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{2β=2kπ+\frac{2π}{3}}\\{2α=2kπ+\frac{4π}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2α=2kπ+\frac{2π}{3}}\\{2β=2kπ+\frac{4π}{3}}\end{array}\right.$，k∈Z，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{α=kπ+\frac{2π}{3}}\\{β=kπ+\frac{π}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{α=kπ+\frac{π}{3}}\\{β=kπ+\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$，k∈Z．

点评 本题主要考查了和差化积公式，余弦函数的图象和性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．