Question

8．某同学参加4门学科的学业水平考试，假设该同学第一门学科取得优秀成绩的概率为$\frac{2}{3}$，第二门学科取得优秀成绩的概率为$\frac{4}{5}$，第三、第四门学科取得优秀成绩的概率分别为m，n（m＞n），且不同学科是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该同学取得优秀成绩的课程数，其分布列为如下表：

ξ	0	1	2	3	4
p	$\frac{1}{120}$	x	y	z	$\frac{1}{5}$

（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求数学期望Eξ．

Answer 1

分析 设事件A_i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，其中i=1，2，3，4 由题意知：$P（{A_1}）=\frac{2}{3}$，$P（{A_2}）=\frac{4}{5}$，P（A₃）=m，P（A₄）=n，
（1）利用对立事件的概率，求解即可．
（2）利用P（ξ=0），P（ξ=4）的概率，列出方程，即可求出m、n的值．
（3）利用已知条件求出x，y，z，然后求解期望．

解答 解：设事件A_i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，其中i=1，2，3，4 由题意知：$P（{A_1}）=\frac{2}{3}$，$P（{A_2}）=\frac{4}{5}$，P（A₃）=m，P（A₄）=n，
（1）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是：$1-P（{ξ=0}）=1-\frac{1}{120}=\frac{119}{120}$，…3分
（2）由题意可知：$P（{ξ=0}）=P（{\overline{{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}}}）=\frac{1}{3}×\frac{1}{5}（{1-m}）（{1-n}）=\frac{1}{120}$，$P（{ξ=4}）=P（{{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}}）=\frac{2}{3}×\frac{4}{5}mn=\frac{1}{5}$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}m+n=\frac{5}{4}\\ mn=\frac{3}{8}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{4}\\ n=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ n=\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
又因为m＞n，所以$m=\frac{3}{4}，n=\frac{1}{2}$ 即为所求． …8分
（3）又$x=P（{ξ=1}）=P（{{A_1}\overline{{A_2}{A_3}{A_4}}}）+P（{\overline{A_1}{A_2}\overline{{A_3}{A_4}}}）+P（{\overline{{A_1}{A_2}}{A_3}\overline{A_4}}）+P（{\overline{{A_1}{A_2}{A_3}}{A_4}}）$
=$\frac{2}{3}×\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$ …10分 $y=P（{ξ=2}）=P（{{A_1}{A_2}\overline{{A_3}{A_4}}}）+P（{{A_1}{A_3}\overline{{A_2}{A_4}}}）+P（{{A_1}{A_4}\overline{{A_2}{A_3}}}）+P（{{A_2}{A_3}\overline{{A_1}{A_4}}}）+P（{{A_2}{A_4}\overline{{A_1}{A_3}}}）+P（{{A_3}{A_4}\overline{{A_1}{A_2}}}）$
=$\frac{2}{3}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{7}{24}$ …12分
$z=P（{ξ=3}）=1-P（{ξ=0}）-P（{ξ=1}）-P（{ξ=2}）-P（{ξ=4}）=1-\frac{1}{120}-\frac{10}{120}-\frac{35}{120}-\frac{24}{120}=\frac{5}{12}$ …14分
则Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）+4×P（ξ=4）
=$0×\frac{1}{120}+1×\frac{10}{120}+2×\frac{35}{120}+3×\frac{50}{120}+4×\frac{24}{120}=\frac{163}{60}$ …16分

点评 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，考查概率的求法，是中档题．