Question

18．设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；      
（Ⅱ）若b=2，c=3，D为AC的中点，求BD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两角和差的正弦公式，即可求角A的大小；      
（Ⅱ）由余弦定理，建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）因为A+B+C=π，
所以A+C=π-B A+C=π-B，A，B∈（0，π） A，B∈（0，π），
所以sin（A+C）=sinB＞0 sin（A+C）=sinB＞0；
又2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB…（2分）
所以$cosA=\frac{1}{2}$，$cosA=\frac{1}{2}，A=\frac{π}{3}$．
即$A=\frac{π}{3}$…（4分）
（Ⅱ）b=2可得AD=1，…（5分）
在△ABD由余弦定理得：
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=7，a²=b²+c²-2bccosA$BD=\sqrt{7}$．                                                   …（8分）

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．