Question

13．设f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=0，证明：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=-ξf′（ξ）

Answer 1

分析 设F（x）=xf（x），可得F（a）=F（b）=0，根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少存在一点ξ，使得F′（ξ）=0，进而得到答案．

解答 证明：设F（x）=xf（x），显然函数F（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，
且F（a）=af（a）=0，F（b）=bf（b）=0，
即F（a）=F（b）
所以根据罗尔定理，在（a，b）内至少存在一点ξ，使得F′（ξ）=f（ξ）+ξf′（ξ）=0．
即f（ξ）=-ξf′（ξ）

点评 本题考查的知识点是罗尔定义的应用，函数的连续性，难度中档．