题目内容

15．已知正数x．y满足x3+3y3+9=9xy，求logxy的值．

分析 利用均值不等式可得：9xy=x3+3y3+9≥3$\root{3}{{x}^{3}•3{y}^{3}•9}$=9xy，当且仅当x3=3y3=9时取等号，解得再利用对数的运算性质即可得出．

解答 解：∵x，y＞0，
∴9xy=x3+3y3+9≥3$\root{3}{{x}^{3}•3{y}^{3}•9}$=9xy，
当且仅当x3=3y3=9时取等号，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}=9}\\{{y}^{3}=3}\end{array}\right.$．
∴logxy=$\frac{3lgy}{3lgx}$=$\frac{lg{y}^{3}}{lg{x}^{3}}$=$\frac{lg3}{lg9}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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5．2015年08月22日至2015年08月30日在北京举行国际田联世界田径锦标赛，其中50名运动员在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，来自牙买加的运动员博尔特取得最好的成绩．将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，
如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图
（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒的认为良好，求50名运动员在这次百米测试中成绩良好的人数；
（2）设m，n表示50名运动员中某两名运动员的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m-n|＞1”的概率．
6．已知函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$（a∈R，a≠0）．
（1）求f （x）的单调区间；
（2）证明：?n∈N*，有$\frac{1}{n+1}＜ln（\frac{1}{n}+1）＜\frac{1}{n}$；
（3）若an=1+$\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}$-lnn，证明：?n∈N*，有an＞an+1＞0．
3．设X为随机变量，从棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，X=0；当四点不共面时，X的值为四点组成的四面体的体积
（1）求X=0的概率；
（2）求X的分布列，并求其数学期望．
10．已知函数f（x）=$\frac{si{n}^{2}θ+3}{\sqrt{si{n}^{2}θ+2}}$，求它的最小值．
20．函数f（x）=ax2-x在区间[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是a≤$\frac{1}{2}$．
7．设k＞0，变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-ky≥0}\\{x+2y-4≤0}\end{array}\right.$，若z=kx-y有最小值，则k的取值范围为（　　）
A．（0，1）B．（0，1]C．[1，+∞）D．（1，+∞）
4．函数f（x）=-x2+3x+1，x∈[m，m+1]，求：
（1）f（x）的最小值g（m）；
（2）g（m）的最大值．
5．已知函数f（x）=loga$\frac{1-x}{1+x}$，若f（$\frac{1}{2}$）=-1，则f（-$\frac{1}{2}$）=1；若 f（b）=c，则f（-b）=-c．

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