Question

16．设平面向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（tan²θ-1）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=tanθ$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$，当θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）时，求θ值的集合．

Answer 1

分析 求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，|$\overrightarrow{b}$|=1，再由向量垂直的条件：数量积为0，可得tanθ（tan²θ-1）=0，结合θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），计算即可得到所求集合．

解答 解：$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，|$\overrightarrow{b}$|=1，
向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（tan²θ-1）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=tanθ$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$，
即有$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=tanθ•$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+tanθ（tan²θ-1）$\overrightarrow{b}$²=0，
则tanθ（tan²θ-1）=0，
即tanθ=0或±1，
当θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）时，
即有θ=0或±$\frac{π}{4}$．
则θ的取值集合为{-$\frac{π}{4}$，0，$\frac{π}{4}$}．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，以及向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．