Question

【题目】已知函数 f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．

（Ⅰ）若 a=4，求函数 f（x）的极值；

（Ⅱ）若 f′（x）在区间（0，1）内有唯一的零点 x0，求 a 的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】分析：（1）当a=4时，化简函数的解析式，求出定义域，函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解极值即可；

（2）方法一：利用，通过导函数为0，构造新函数，通过分类讨论求解即可.

方法二：令，由得，设，则，，问题转化为直线与函数的图象在恰有一个交点问题，即可求a 的取值范围．

详解：（Ⅰ）当 a=4 时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），

由 x∈（0，+∞），令 f'（x）=0，得．

当 x 变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

故函数 f（x）在单调递减，在单调递增，f（x）有极小值， 无极大值．…

（Ⅱ）解法一，

令 f'（x）=0，得 2ax2+2x﹣1=0，设 h（x）=2ax2+2x﹣1．

则 f'（x）在（0，1）有唯一的零点 x0 等价于 h（x）在（0，1）有唯一的零点 x0

当 a=0 时，方程的解为，满足题意

当 a＞0 时，由函数 h（x）图象的对称轴，函数 h（x）在（0，1）上单调递增， 且 h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；

当 a＜0，△=0 时，，此时方程的解为 x=1，不符合题意； 当 a＜0，△≠0 时，由 h（0）=﹣1，

只需 h（1）=2a+1＞0，得

（说明：△=0 未讨论扣 1 分）

解法二：

（Ⅱ），

令 f'（x）=0，由 2ax2+2x﹣1=0，得．

设，则 m∈（1，+∞），，

问题转化为直线 y=a 与函数的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题． 又当 m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，

故直线 y=a 与函数 h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当． …