题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，椭圆
的中心为原点，焦点
，
在
轴上，离心率为
.过的直线
交于
，
两点，且
的周长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆
与
轴正半轴相交于两点
，
（点在点的左侧），过点任作一条直线与椭圆相交于
，
两点，连接
，
，求证
.
【答案】（1）
；（2）见解析.
【解析】
（1）设椭圆C的方程为
(a＞b＞0)，由离心率为
，得
，又△PQF2的周长为4a=
，得a＝2
，进而求出椭圆方程；
（2）把y＝0代入圆的方程求出x的值，确定M与N的坐标，当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性得证；当AB与x轴不垂直时，设直线AB为y=k（x﹣1），与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理表示出x1+x2，x1x2，进而表示出直线AN与直线BN斜率之和为0，即可得证．
(1)设椭圆C的方程为(a＞b＞0)．因为离心率为，所以
，解得
，即.又△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)＝2a＋2a＝4a，所以又△PQF2的周长为，即a＝2，b＝2，
所以椭圆C的方程为
.
(2)把y＝0代入
＋(y－2)2＝
,解得x＝1或x＝4，因为点
在点
的左侧，即点M(1，0)，N(4，0)．
①当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM＝∠BNM.
②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)．
联立
(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝
，x1x2＝
.
因为y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
所以kAN＋kBN＝
＋
＝
＋
＝
.
因为(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝
＋8＝
，
所以kAN＋kBN＝0，所以∠ANM＝∠BNM，综上所述，∠ANM＝∠BNM.
