Question

【题目】已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．
（1）求圆C的方程．
（2）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圆心在直线y=2x上，

故可设圆心C（a，2a），半径为r．

则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．

∵圆C经过A（3，2）、B（1，6），

∴ ．

解得a=2，r= ．

∴圆C的标准方程为

（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．

（2）解：由（1）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r= ．

直线l经过点P（﹣1，3），

①若直线斜率不存在，

则直线l：x=﹣1．

圆心C（2，4）到直线l的距离为

d=3＜r= ，故直线与圆相交，不符合题意．

②若直线斜率存在，设斜率为k，

则直线l：y﹣3=k（x+1），

即kx﹣y+k+3=0．

圆心C（2，4）到直线l的距离为

d= = ．

∵直线与圆相切，

∴d=r，即 = ．

∴（3k﹣1）2=5+5k2，

解得k=2或k=- ．

∴直线l的方程为2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．

【解析】（1）根据已知设出圆的标准方程，将点A，B的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆C的方程．（2）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程．