题目内容
【题目】已知抛物线与直线
只有一个公共点,点
是抛物线
上的动点.
(1)求抛物线的方程;
(2)①若,求证:直线
过定点;
②若是抛物线
上与原点不重合的定点,且
,求证:直线
的斜率为定值,并求出该定值.
【答案】(1)(2)①证明见解析②证明见解析,
【解析】
(1)联立抛物线与直线方程,再根据二者只有一个交点可得,即可求解;
(2)①设,
,由直线斜率公式代入
可得
,由直线的斜率公式可得
,进而将
代入直线
的方程
,化简后即可求解;②设
,
,利用直线斜率公式代入
中化简可得
,即
,再根据直线斜率公式求解即可.
解:(1)与
联立得
,
因为抛物线与直线
只有一个公共点,
所以,即
,
所以抛物线的方程为
.
(2)①证明:设,
,则
,
所以,又
,
所以直线的方程为
,
即,
当时
,所以直线
过定点
.
②证明:设,
,
则,
即,
所以,则
,
所以直线的斜率为
,
因为为定点,
所以直线的斜率为定值
.
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