题目内容
【题目】如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形
内种植了两种花卉，其中
区域内种植兰花，
区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界
，
， 
．
（1）求观赏小道BD的长及种植区域的面积；
（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四边形
）的面积最大，并求出这个面积的最大值．
【答案】（1）
，
面积为
；（2）当
为等边三角形时，新区域
的面积最大，最大值为
．
【解析】
（1）设
，利用余弦定理和圆的内接四边形对角互补，建立方程求解即可；
（2）利用同弧所对的圆周角相等，得
，设
，
，则
，接着利用余弦定理和基本不等式可求最大值.
（1）设，则由余弦定理得
，
．
由四边形是圆内接四边形得
，
故
，即
，
解得
（负值舍去），即
．
从而
，所以
，
，
故
．
答：观赏小道BD的长为
，种植区域的面积为．
（2）由（1）及“同弧所对的圆周角相等”得．
设，，
则．
在中，由余弦定理有
，
故
（当且仅当
时等号成立）．
而
，
因此，种植区域改造后的新区域的面积的最大值为
．
答：当为等边三角形时，新区域的面积最大，最大值为．
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