题目内容
【题目】已知椭圆
:
的左右焦点分别为
，
，左顶点为
，点
在椭圆上，且
的面积为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点
且与
轴不重合的直线交椭圆于
，
两点，直线
分别与
轴交于点
，
，.求证：以
为直径的圆恒过交点，，并求出
面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据点
在椭圆
上，且△
的面积为
，结合性质
，列出关于
、
、
的方程组，求出 、 、，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）直线
的方程为
，设点
（不妨设
），则点
，由
，消去
得
，所以
，
，可证明
，
，同理
，则以img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2018/10/05/10/304d3c4b/SYS201810051001336893528698_DA/SYS201810051001336893528698_DA.024.png" width="29" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />为直径的圆恒过焦点
，
，可得
，进而可得结果.
试题解析：（Ⅰ）
，
，
又点
在椭圆
上，
，
，
解得
，或
（舍去），又
，
，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）
，
，
，
方法一：当直线的斜率不存在时，
，
为短轴的两个端点，则
，
， ，，则以
为直径的圆恒过焦点，，
当的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，
设点（不妨设），则点，
由，消去得，所以，，
所以直线
的方程为
，
因为直线与轴交于点
，令
得
，
即点
，同理可得点
，
，
，
，同理，
则以为直径的圆恒过焦点，，
当的斜率存在且不为零时，
，
△
面积为
，
又当直线的斜率不存在时，
，△面积为
，
△面积的取值范围是．
方法二：当，不为短轴的两个端点时，设
，
则
，由点在椭圆上， 
，
所以直线的方程为
，令得
，
即点
，同理可得点
，
以为直径的圆可化为
，
代入
，化简得
，
令
解得
以为直径的圆恒过焦点，，
，又
，
,
△面积为，
当，为短轴的两个端点时，，△面积为，
△面积的取值范围是．
