Question

【题目】已知点，，点为曲线上任意一点且满足.

（1）求曲线的方程；

（2）设曲线与轴交于、两点，点是曲线上异于、的任意一点，直线、分别交直线于点、.试问在轴上是否存在一个定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，其坐标为

【解析】

（1）设点P（x，y），由条件列出方程，化简得出方程；

（2）根据题意求出M、N的坐标，表示出直线MR、NR的直线方程，表示出F、G两点，假设存在定点S(0,m)，利用求出m即可.

解：（1）设，由，

得，

整理得.

所以曲线的方程为.

（2）由题意得，，.

设点，由点在曲线上，

所以.

直线的方程为，

所以直线与直线的交点为.

直线的方程为，

所以直线与直线的交点为.

假设存在点，使得成立，

则.

即，

整理得.

因为，

所以，

解得.

所以存在点使得成立，

点的坐标为.