题目内容
【题目】已知圆
经过椭圆
： 
的两个焦点和两个顶点，点
， 
， 
是椭圆
上的两点，它们在
轴两侧，且
的平分线在
轴上， 
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）证明：直线
过定点.
【答案】（Ⅰ）
.（Ⅱ）直线
过定点
.
【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知 
,故
,由此求得椭圆方程.(II)设出直线
的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出
的斜率并相加,由此求得直线
过定点
.
【试题解析】
（Ⅰ）圆
与
轴交点
即为椭圆的焦点，圆
与
轴交点
即为椭圆的上下两顶点，所以
， 
.从而
，
因此椭圆
的方程为： 
.
（Ⅱ）设直线
的方程为
.
由
，消去
得
.
设
， 
，则
， 
.
直线
的斜率
；
直线
的斜率
.
.
由
的平分线在
轴上，得
.又因为
，所以
，
所以
.
因此，直线
过定点
.
[点睛]本小题主要考查椭圆方程的求解,考查圆与椭圆的位置关系,考查直线与圆锥曲线位置关系. 涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断.（2）弦长、弦中点问题.（3）轨迹问题.（4）定值、最值及参数范围问题.（5）存在性问题.常用思想方法和技巧有：（1）设而不求.（2）坐标法.（3）根与系数关系.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数
（
，且
）.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）求函数
在
上的最大值.
【答案】（Ⅰ）
的单调增区间为
，单调减区间为
.（Ⅱ）当
时， 
；当
时， 
.
【解析】【试题分析】(I)利用
的二阶导数来研究求得函数
的单调区间.(II) 由（Ⅰ）得
在
上单调递减，在
上单调递增，由此可知
.利用导数和对
分类讨论求得函数在
不同取值时的最大值.
【试题解析】
（Ⅰ）
，
设
，则
.
∵
， 
，∴
在
上单调递增，
从而得
在
上单调递增，又∵
，
∴当
时， 
，当
时， 
，
因此， 
的单调增区间为
，单调减区间为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
在
上单调递减，在
上单调递增，
由此可知
.
∵
， 
，
∴
.
设
，
则
.
∵当
时， 
，∴
在
上单调递增.
又∵
，∴当
时， 
；当
时， 
.
①当
时， 
，即
，这时， 
；
②当
时， 
，即
，这时， 
.
综上， 
在
上的最大值为：当
时， 
；
当
时， 
.
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与
轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
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