题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
为
的重心,
.
(1)求证:平面
;
(2)若侧面底面
,
,
,求直线
与平面
所成角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)连接,并延长
,交
于点
,过
作
,交
于点
,分别连接
,
.为
是
的重心,所以
,又
,所以
,所以
,从而
平面
;(2)以
为原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,利用直线
的方向向量与平面
的法向量,计算得线面角的正弦值为
.
试题解析:
(1)连接,并延长
,交
于点
,过
作
,交
于点
,分别连接
,
.因为
是
的重心,所以
.
又,所以
.
又据三棱柱性质知
,
所以.
又因为,
,
所以.
又,
,
,
所以.
又因为,
,
所以平面平面
又因为,
所以平面
(2)连结.
因为,
,
,
所以,
所以,所以
.
因为侧面底面
,侧面
底面
,
,
所以平面
.
因为,
,所以
是等边三角形,
所以.
以为原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
所以,
,
,
,
所以.
设平面的一个法向量为
,则
所以
令,得
,
所以.
所以.即直线
与平面
所成角
的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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