Question

17．设函数f（x）=x1nx+ax²（a∈R）．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，求实数a的最大值；
（2）设F（x）=f（x）-xlnx-[f′（x）-2ax]，试讨论F（x）的零点的个数．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在（0，+∞）上为减函数，则f′（x）=1nx+1+2ax≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≤$-\frac{lnx+1}{2x}$在（0，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=$-\frac{lnx+1}{2x}$，利用导数法，求出其最小值，可得答案；
（2）求出F（x）的解析式，并求导，对a分类讨论，分析函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=x1nx+ax²在（0，+∞）上为减函数，
∴f′（x）=1nx+1+2ax≤0在（0，+∞）上恒成立，
即a≤$-\frac{lnx+1}{2x}$在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=$-\frac{lnx+1}{2x}$，则h′（x）=$\frac{lnx}{2{x}^{2}}$，
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
故当x=1时，h（x）取最小值-$\frac{1}{2}$，
故实数a的最大值为-$\frac{1}{2}$；
（2）∵F（x）=f（x）-xlnx-[f′（x）-2ax]=x1nx+ax²-xlnx-[1nx+1+2ax-2ax]=ax²-1nx-1，
则F′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-1}{x}$，
当a≤0时，F′（x）＜0恒成立，F（x）在（0，+∞）上为减函数，
此时函数有且只有一个零点；
当a＞0时，令F′（x）=0，则x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
当x∈（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）时，F′（x）＜0，F（x）为减函数，
当x∈（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，
故当x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$时，F（x）取最小值$\frac{1}{2}$（ln2a-1），
若$\frac{1}{2}$（ln2a-1）≥0，即a≥$\frac{1}{2}$e时，函数有且只有一个零点；
若$\frac{1}{2}$（ln2a-1）＜0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$e时，函数有且只有两个零点；
综上所述：当a≤0或a≥$\frac{1}{2}$e时，函数有且只有一个零点；当0＜a＜$\frac{1}{2}$e时，函数有且只有两个零点；

点评 本题考查的知识点是函数的零点，导数法确定函数的单调性，导数法确定函数的最值，难度中档．