Question

如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，直线A′B和直线AC、CC′、C′A所成的角的大小分别是α、β、γ，则α、β、γ的大小关系是（　　）

A．β＜α＜γ

B．α＜β＜γ

C．α＜γ＜β

D．β＜γ＜α

Answer 1

分析：将A′B平移到CD′，从而∴∠ACD′为直线A′B和直线AC所成角，在△ACD′中求出此角即可；将CC′平移到B′B，从而∴∠A′BB′为直线A′B和直线CC′所成角，在△A′BB′中求出此角即可；据AB′⊥BA′，AB′⊥B′C′，得出AB′⊥平面AB′C′D，从而AB′⊥C′A．最后比较它们的大小即得．

解答：解：①连接CD′，AD′，CD′∥A′B，
∴∠ACD′为直线A′B和直线AC所成角的大小
△ACD′为正三角形，
∴直线A′B和直线AC所成角为α=60°．

②∵CC′∥B′B，
∴∠A′BB′为直线A′B和直线CC′所成角
△A′BB′为等腰直角三角形，
∴∠A′BB′=45°
∴直线A′B和直线CC′所成角为β=45°；

③∵AB′⊥BA′，AB′⊥B′C′，
∴AB′⊥平面AB′C′D，C′A?平面AB′C′D，C′，
∴AB′⊥C′A，
即直线A′B和直线C′A所成的角为γ=90°．
则α、β、γ的大小关系是β＜α＜γ．
故选A．

点评：本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．