题目内容
【题目】设函数和
都是定义在集合
上的函数,对于任意的
,都有
成立,称函数
与
在
上互为“互换函数”.
(1)函数与
在
上互为“互换函数”,求集合
;
(2)若函数 (
且
)与
在集合
上互为“互换函数”,求证:
;
(3)函数与
在集合
且
上互为“互换函数”,当
时,
,且
在
上是偶函数,求函数
在集合
上的解析式.
【答案】(1)(2)见解析(3)
,
【解析】
(1)利用列方程,并用二倍角公式进行化简,求得
或
,进而求得集合
.
(2)由,得
(
且
),化简后根据
的取值范围,求得
的取值范围.
(3)首先根据为偶函数,求得当
时,
的解析式,从而求得当
时,
的解析式.依题意“当
,
恒成立”,化简得到
,根据函数解析式的求法,求得
时,
以及
,进而求得函数
在集合
上的解析式.
(1)由得
化简得,,所以
或
.
由解得
或
,
,
即或
,
.
又由解得
,
.
所以集合,或
,
即集合.
(2)证明:由,得
(
且
).
变形得 ,所以
.
因为,则
,所以
.
(3)因为函数在
上是偶函数,则
.当
,则
,所以
.所以
,
因此当时,
.
由于与函数
在集合
上“互换函数”,
所以当,
恒成立.
即对于任意的
恒成立.
即.
于是有,
,
.
上述等式相加得 ,即
.
当(
)时,
,
所以 .
而,
,
所以当时,
,
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某高校对生源基地学校一年级的数学成绩进行摸底调查,已知其中两个摸底学校分别有人、
人,现采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了
名学生的数学成绩,并作出了频数分别统计表如下:(一年级人数为
人的学校记为学校一,一年级人数为1000人的学校记为学校二)
学校一
分组 | ||||
频道 | ||||
分组 | ||||
频数 |
学校二
分组 | ||||
频道 | ||||
分组 | ||||
频数 |
(1)计算,
的值.
(2)若规定考试成绩在内为优秀,请分别估计两个学校数学成绩的优秀率;
(3)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有
的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
学校一 | 学校二 | 总计 | |
优秀 | |||
非优秀 | |||
总计 |
附: