题目内容
已知椭圆E：
＝1(a>b>0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝2
，|AB|的最小值为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若圆x2＋y2＝
的切线L与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
（1）
＋y2＝1（2）垂直
【解析】(1)设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，F(c,0)(c2＝a2－b2)
|AF|＋|BF|＝2a＝2
，∴a＝
.
又|AB|＝
?＝2 
，0≤
≤a2，
∴|AB|min＝2b＝2，∴b＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题设条件可知直线L的斜率存在，设直线L的方程为y＝kx＋m.
∵直线L与圆x2＋y2＝
相切，∴
，
∴m2＝
(k2＋1)．
将y＝kx＋m代入＋y2＝1中得，
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝8(2k2＋1－m2)＞0.
令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2，
则x1＋x2＝
①，x1x2＝
②，
y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝
③.
∴
·
＝x1x2＋y1y2＝＋
＝
＝0，
∴
⊥
，即OP与OQ垂直
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