Question

19．已知圆C：x²+y²-2x-10y+13=0及点Q（-4，4），
（Ⅰ）若点P（2m+4，3m+3）在圆C上，求PQ的斜率；
（Ⅱ）若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；
（Ⅲ）若N（a，b）满足关系：a²+b²-2a-10b+13=0，求出t=$\frac{b-4}{a+4}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若点P（2m+4，3m+3）在圆C上，代入圆的方程，求出P的坐标，即可求PQ的斜率；
（Ⅱ）点M是圆C上任意一点，Q（-4，4）在圆外，所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r，|QC|-r；
（Ⅲ）t=$\frac{b-4}{a+4}$表示的是定点Q（-4，4）与圆上的动点N（a，b）连线l的斜率，即可求出t=$\frac{b-4}{a+4}$的最大值．

解答 解：圆C：x²+y²-2x-10y+13=0可化为（x-1）²+（y-5）²=13．
所以圆心坐标为C（1，5），半径r=$\sqrt{13}$ …（1分）
（1）点P（2m+4，3m+3）在圆C上，
所以（（2m+4-1）²+（3m+3-5）²=13，解得m=0，故点P （4，3）．…（3分）
所以PQ的斜率是k_PQ=$\frac{3-4}{4-（-4）}$=-$\frac{1}{8}$；…（4分）
（2）点M是圆C上任意一点，Q（-4，4）在圆外，
所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r，|QC|-r．
因为|QC|=$\sqrt{26}$，r=$\sqrt{13}$，
所以|MQ|_max=$\sqrt{26}$+$\sqrt{13}$，|MQ|_min=$\sqrt{26}$-$\sqrt{13}$．…（7分）
（3）点N（a，b）在圆C：x²+y²-2x-10y+13=0上，
t=$\frac{b-4}{a+4}$表示的是定点Q（-4，4）与圆上的动点N（a，b）连线l的斜率．
设l的方程为y-4=k（x+4），
即kx-y+4k+4=0．
当直线和圆相切时，d=r，
即$\frac{|k-5+4k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{13}$，解得k=-$\frac{2}{3}$或 k=$\frac{3}{2}$．…（9分）
所以t=$\frac{b-4}{a+4}$的最大值为$\frac{3}{2}$．…（10分）

点评 本题考查点与圆、直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．