题目内容
9.函数f(x)=(3x-1)($\sqrt{9{x}^{2}-6x+5}$+1)+(2x-3)($\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$+1)的图象与x轴的交点坐标为($\frac{4}{5}$,0).分析 由题意转化为方程f(x)=(3x-1)($\sqrt{9{x}^{2}-6x+5}$+1)+(2x-3)($\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$+1)=0的解,从而可得(3x-1)($\sqrt{(3x-1)^{2}+4}$+1)=(3-2x)($\sqrt{(3-2x)^{2}+4}$+1),再令g(x)=x($\sqrt{{x}^{2}+4}$+1),从而求导以判断函数的单调性,从而解得.
解答 解:由题意,
令f(x)=(3x-1)($\sqrt{9{x}^{2}-6x+5}$+1)+(2x-3)($\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$+1)=0,
即(3x-1)($\sqrt{(3x-1)^{2}+4}$+1)=(3-2x)($\sqrt{(3-2x)^{2}+4}$+1),
令g(x)=x($\sqrt{{x}^{2}+4}$+1),g′(x)=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+1+$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$>0,
故g(x)=x($\sqrt{{x}^{2}+4}$+1)在R上单调递增;
故3x-1=3-2x,
解得,x=$\frac{4}{5}$;
故答案为:($\frac{4}{5}$,0).
点评 本题考查了导数的综合应用及函数与方程的关系应用.
练习册系列答案
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14.实数a、b满足①2b≥a2-4a;②b≤$\sqrt{4a-{a}^{2}}$;③(|a-2|+|b|-2)(|a-2|+|b|-3)≤0这三个条件,则|a-b-6|的范围是( )
A. | [2,4+2$\sqrt{2}$] | B. | [$\frac{3}{2}$,7] | C. | [$\frac{3}{2}$,4+2$\sqrt{2}$] | D. | [4-2$\sqrt{2}$,7] |