Question

14．已知数列{a_n}是等差数列，若a₇+3a₉＜0，a₈•a₉＜0，且数列{a_n}的前n项和S_n有最大值，那么当S_n取得最小正值时，n=（　　）

• A． 18
• B． 17
• C． 16
• D． 15

Answer 1

分析 由等差数列的性质结合a₇+3a₉＜0，得a₈+a₉＜0，再由a₈•a₉＜0，可得a₈，a₉异号，而数列{a_n}的前n项和S_n有最大值，可知数列为递减数列，由此可得S₁₅＞0，S₁₆＜0，则答案可求．

解答 解：在等差数列{a_n}中，由a₇+3a₉＜0，得2（a₈+a₉）＜0，即a₈+a₉＜0，
又a₈•a₉＜0，∴a₈，a₉异号，
由数列{a_n}的前n项和S_n有最大值，可知数列为递减数列，
则a₈＞0，a₉＜0，且|a₈|＜|a₉|，
∴S₁₅=15a₈＞0，${S}_{16}=\frac{16（{a}_{1}+{a}_{16}）}{2}=8（{a}_{8}+{a}_{9}）＜0$．
则当S_n取得最小正值时，n=15．
故选：D．

点评 本题考查等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，是基础题．