Question

13．f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$的图象与直线l：y=kx-1没有公共点，则实数k的范围为（　　）

• A． （0，1]
• B． [-1，1]
• C． （1-e，1]
• D． （1-e，1）

Answer 1

分析 f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$的图象与直线l：y=kx-1没有公共点，等价于关于x的方程x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1在R上没有实数解，即为关于x的方程：（k-1）x=$\frac{1}{{e}^{x}}$，（*）在R上没有实数解，分类讨论即可求出k的范围．

解答 解：f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$的图象与直线l：y=kx-1没有公共点等价于关于x的方程x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1在R上没有实数解，即关于x的方程：（k-1）x=$\frac{1}{{e}^{x}}$，（*）
在R上没有实数解．
①当k=1时，方程（*）可化为$\frac{1}{{e}^{x}}$=0，在R上没有实数解．
②当k≠1时，方程（*）化为$\frac{1}{k-1}$=xe^x．
令g（x）=xe^x，则有g′（x）=（1+x）xe^x．
令g′（x）=0，得x=-1，当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）		-$\frac{1}{e}$

当x=-1时，g（x）_min=-$\frac{1}{e}$，同时当x趋于+∞时，g（x）趋于+∞，
从而g（x）的取值范围为[-$\frac{1}{e}$，+∞）．
所以当$\frac{1}{k-1}$∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）时，方程（*）无实数解，解得k的取值范围是（1-e，1）．
综上所述k的取值范围为（1-e，1]，
故选：C．

点评 本题考查函数导数和函数最值问题，以及求出函数有参数的取值范围，属于中档题．